Kubus dalam kubus, berapa banyak? (2)
Soal:
Sebuah kubus berukuran 11 x 11 x 11 dibentuk dengan merekatkan 11 pangkat 3 buah kubus satuan. Banyaknya kubus satuan yang dapat dilihat sekaligus dari suatu titik adalah ....."
Sesuai janji, kita akan mencoba menjawab soal di atas dengan dua cara, jika sebelumnya kita menggunakan teknik pencarian pola matematika. Kali ini saya akan membahas dengan penggunaan rumus himpunan X, Y, dan Z (sesuai judul XYZ, hehe ..., bisa aza, sambung pake tali kali!).
Misalkan banyaknya kubus terlihat pada ranah x disebut himpunan X, pada ranah Y disebut himpunan Y, dan ranah Z (himpunan Z).
Lebih lanjut kita bisa melihat pada gambar di bawah ini
Tiga himpunan yang tidak saling lepas memiliki perumusan sebagai berikut:
$$ n( X \cup Y \cup Z) = n(X) + n(Y) + n(Z) - n(X \cap Y) - n(Y \cap Z) - n (X \cap Z) + n (X \cap Y \cap Z)$$
dengan n( X n Y ) adalah kubus yang berada di dua ranah dalam hal ini rusuk kubus dan n( X n Y n Z ) adalah sudut kubus karena berada di tiga ranah X, Y, dan Z.
kita hitung satu-satu :
banyaknya kubus di tiap sisi adalah kuadrat dari 11 yaitu 121 kubus satuan.
$$n(X) = n(Y) = n(Z) = 11 \times 11 = 121$$
Banyaknya kubus di tiap rusuk atau irisan dari dua himpunan masing-masing terdapat 11 kubus satuan
$$ n(X \cap Y) = n(Y \cap Z) = n(X \cap Z) = 11 $$
Sedangkan sudut kubus sebagai titik acuan penglihatan merupakan irisan ketiga himpunan yaitu 1 kubus satuan.
$$ n( X \cap Y \cap Z) = 1 $$
Nah, banyaknya kubus satuan yang dapat dilihat dari sebuah kubus besar berukuran 11 x 11 x 11 adalah
$$ n( X \cup Y \cup Z) = 121 + 121 + 121 - 11 - 11 - 11 + 1$$
Atau dapat ditulis (3 x 121) - (3 x 11) + 1 . Dengan demikian banyaknya kubus satuan adalah 331 kubus satuan.
Atau lihatlah dari diagram venn di bawah ini
Ternyata perhitungan kubus ini dapat dijawab menggunakan sifat himpunan.Dengan demikian sebuah rumus dapat digunakan karena kebutuhan setelah kita menganalisa soal tidak instan begitu saja atau tidak memilah-milah bab pengerjaan.
Jika anda pertama kali mengunjungi blog ini, alangkah baiknya anda lihat dahulu pengenalan.
Sebuah kubus berukuran 11 x 11 x 11 dibentuk dengan merekatkan 11 pangkat 3 buah kubus satuan. Banyaknya kubus satuan yang dapat dilihat sekaligus dari suatu titik adalah ....."
Sesuai janji, kita akan mencoba menjawab soal di atas dengan dua cara, jika sebelumnya kita menggunakan teknik pencarian pola matematika. Kali ini saya akan membahas dengan penggunaan rumus himpunan X, Y, dan Z (sesuai judul XYZ, hehe ..., bisa aza, sambung pake tali kali!).
Misalkan banyaknya kubus terlihat pada ranah x disebut himpunan X, pada ranah Y disebut himpunan Y, dan ranah Z (himpunan Z).
Lebih lanjut kita bisa melihat pada gambar di bawah ini
Tiga himpunan yang tidak saling lepas memiliki perumusan sebagai berikut:
$$ n( X \cup Y \cup Z) = n(X) + n(Y) + n(Z) - n(X \cap Y) - n(Y \cap Z) - n (X \cap Z) + n (X \cap Y \cap Z)$$
dengan n( X n Y ) adalah kubus yang berada di dua ranah dalam hal ini rusuk kubus dan n( X n Y n Z ) adalah sudut kubus karena berada di tiga ranah X, Y, dan Z.
kita hitung satu-satu :
banyaknya kubus di tiap sisi adalah kuadrat dari 11 yaitu 121 kubus satuan.
$$n(X) = n(Y) = n(Z) = 11 \times 11 = 121$$
Banyaknya kubus di tiap rusuk atau irisan dari dua himpunan masing-masing terdapat 11 kubus satuan
$$ n(X \cap Y) = n(Y \cap Z) = n(X \cap Z) = 11 $$
Sedangkan sudut kubus sebagai titik acuan penglihatan merupakan irisan ketiga himpunan yaitu 1 kubus satuan.
$$ n( X \cap Y \cap Z) = 1 $$
Nah, banyaknya kubus satuan yang dapat dilihat dari sebuah kubus besar berukuran 11 x 11 x 11 adalah
$$ n( X \cup Y \cup Z) = 121 + 121 + 121 - 11 - 11 - 11 + 1$$
Atau dapat ditulis (3 x 121) - (3 x 11) + 1 . Dengan demikian banyaknya kubus satuan adalah 331 kubus satuan.
Atau lihatlah dari diagram venn di bawah ini
Ternyata perhitungan kubus ini dapat dijawab menggunakan sifat himpunan.Dengan demikian sebuah rumus dapat digunakan karena kebutuhan setelah kita menganalisa soal tidak instan begitu saja atau tidak memilah-milah bab pengerjaan.
Jika anda pertama kali mengunjungi blog ini, alangkah baiknya anda lihat dahulu pengenalan.
Comments
Post a Comment